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람베르트 W 함수
덤프버전 :
오메가 함수은(는) 여기로 연결됩니다.
소인수의 수를 세는 오메가 함수에 대한 내용은 소인수 계량 함수 문서참고하십시오.
1. 개요[편집]
람베르트 [math(\boldsymbol W)] 함수(Lambert [math(\boldsymbol W)] function)는 특수함수의 하나로, 오메가 함수(Omega function) 또는 곱 로그(Product logarithm)[1] 라고도 한다.
함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 함수를 정의해 보자.
여기서 [math(x)]와 [math(y)]를 서로 바꾸어 역함수
를 얻는데, 이를 만족하는 [math(y)]를 [math(y \triangleq W(x))]로 정의하고, 람베르트 [math(W)] 함수라 한다.[2] 즉, [math(W(x)e^{W(x)}=x)]이다.[3]
이 함수는 초등함수로 나타낼 수 없다.
게다가 [math(y = xe^x)]가 [math(x = -1)]에서 극솟값 및 최솟값 [math(-e^{-1})]을 나타내므로, 람베르트 [math(W)] 함수는 기본적으로 음함수이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 [math(y = -1)]을 기점으로 [math(W_{-1}(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, \,0))]]와 [math(W_0(x))][* 정의역: [math([-e^{-1},\, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉 [math(W(x))]로 이르는 것은 실제로는
인 셈이다.
아래는 람베르트 [math(W)] 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다.
[math(W_0(x))]은 매클로린 전개를 이용하여 무한급수로 나타낼 수 있고, 다음과 같다.
한편, [math(xe^x = 1)], 즉 [math(W_0(1))]을 오메가 상수라고 하며 [math(\Omega)]로 나타낸다. 위 무한급수 식에 [math(x=1)]을 대입하면 얻을 수 있고, 구체적인 값은 약 0.5671432904이다.
일반화된 버전으로 [math(W_n(x))]가 있는데, [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]이 아닌 경우 무조건 복소수 값을 띤다. 심지어 [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[5] 를 벗어나면 복소수가 된다.
1.1. 미적분[편집]
이 함수의 미분은 [math(x = W(x)e^{W(x)})]를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면
로 쓸 수 있다. 그런데 [math(x = W(x) e^{W(x)})]으로부터
이므로
으로 쓸 수 있음에 따라
을 얻는다. 단, [math(x=-e^{ -1 })]에서는 미분 가능하지 않으며, [math(x=0)]에서는 치환 전의 식에 따라 [math(W'(0)=1)]을 얻을 수 있다.
부정적분을 구할 때는 부분적분법을 이용하면 된다.
중간 과정에서 미분할 때 썼던 몇몇 공식을 이용했다.
1.2. 알려진 값[편집]
- [math(W\biggl( -\dfrac\pi2 \biggr) \!= \dfrac{i\pi}2)]
- [math(W\biggl(-\dfrac1e \biggr)\!=-1)]
- [math(W\biggl( -\dfrac{\ln a}a \biggr) \!= -\ln a \quad (e^{-1} \le a \le e))]
- [math(W(0)=0)]
- [math(W(1) \equiv \Omega)]: 이 값을 오메가 상수라 한다.
- [math(W(e)=1)]
2. 활용[편집]
2.1. 방정식의 해 구하기 1[편집]
이 문단에서는 방정식 [math(x^x=a)]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.
양변에 자연로그를 씌우면,
이다. [math(x = e^{\ln x})] 이므로 위 식은 [math(e^{\ln x}\ln x = \ln a)] 로 변하는데, 이때, 람베르트 [math(W)] 함수를 양변에 취하면 정의에 따라
이고, 식을 정리하면
를 얻는다.[6]
[검산] -
위 결과를 본 방정식에 대입하면가 되므로 답과 일치한다.
2.2. 방정식의 해 구하기 2[편집]
이 문단에서는 [math(a^x = bx+c\, (b\neq0,a\neq0,1))]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.
[math(z = bx+c)]으로 놓으면,
[math(x = \dfrac{z-c}b)]
[1] 정의가 로그함수([math(x = e^y)])와 유사하다.[2] 예를 들어서 [math(x=e)]라고 한다면 [math(e=ye^y)]를 만족하는 [math(y)]의 값은 [math(y=1)]이므로 [math(y=W(e)=1)]이 된다.[3] [math(f(x)=xe^x)]라 하면, [math(f^{-1}(x)=W(x))]이고, 역함수의 정의에 의해 [math(f(f^{-1}(x))=f(W(x))=W(x)e^{W(x)}=x)]이기 때문이다.[4] [math({\bf1}_{\mathbb R})]은 실수 판별 함수이다. 실수이면 [math(1)], 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서 함숫값이 실수가 아닐 경우 정의역에서 제외된다.[5] [math(n=-1)]인 경우 [math(-e^{-1} \le x < 0)], [math(n=0)]인 경우 [math(x \ge -e^{-1})][6] 이때, [math(e^{W(\ln a)})]를 [math(a)]의 초제곱근(Super-root)이라고 한다.
가 되고, 대입하면 [math(a^{{(z-c)}/b} = z)], 양 변에 [math(a^{ c/b})]를 곱하면
[math((a^{1/b})^z = a^{c/b}z )]
가 된다. 여기서 상수를 각각 [math(a^{1/b} \equiv p)], [math(a^{ c/b} \equiv q)]로 치환하자.
[math(t = p^z \to z = \log_pt)]로 놓으면,
[math(t = q\log_pt)]
가 되고 이 식을 변형하면
[math(p^{t/q} = t)]
가 된다. 이제 양변에 [math(-1/t)]제곱을 취하면
[math(p^{-1/q} = \left( \dfrac1t \right)^{1/t})]
이제 [math(1/t \equiv u)]로 치환해주면,
[math(u^u = p^{-1/q})]
로, 바로 윗 문단에서 푼 [math(x^x = a)] 꼴이다. [math(u)]에 대해 풀고 치환했던 문자들을 정리하면, [math(x)]에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[검산] -
먼저 본 반정식의 좌변에 대입하면, [math(\dfrac{1}{\ln a} = \log_a e,\, e^{-W(x)} =\dfrac{W(x)}{x})] [math((x\neq0))]이므로
[math(\begin{aligned}a^x &= e^{-W(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b})}\,a^{-\frac{c}{b}}\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
우변에 대입하면
[math(\begin{aligned}bx+c &= b\left[-\dfrac{1}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)-\dfrac{c}{b}\right]+c\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
이상에서 양변이 일치하므로 본 방정식의 해이다.
3. 관련 문서[편집]
[7] 선로의 형태가 정말로 이 함수의 그래프처럼 생겼다.